Producto Punto y Producto Cruz a través de Vectores

Vectores, producto punto y producto cruz.
1
Un vector es un ente matem´atico que tiene una magnitud, una direcci´on y un sentido. Podemos considerar un
vector como una flecha. La magnitud es el largo de la flecha, la direcci´on ser´ıa la recta que contiene el vector y el
sentido ser´ıa la flecha y hacia d´onde apunta.
Los vectores los podemos considerar tambi´en como pares o tr´ıos ordenados, dependiendo si estamos trabajando
en R
2
o en R
3
. De hecho en f´ısica, la gran mayor´ıa de los trabajos que se hacen al usar vectores los consideran como
pares, tr´ıos o n-tuplas ordenados.
Vamos a considerar dos vectores en el espacio (es decir, R
3
), que llamaremos A~ y B~
, definidos como sigue:
A~ = (Ax, Ay, Az) = Ax xˆ + Ay yˆ + Az zˆ
B~ = (Bx, By, Bz) = Bx xˆ + By yˆ + Bz zˆ .
Es claro que si trabajamos en el plano (es decir, R
2
), los vectores s´olo tendr´an dos componentes cada uno. La
discuci´on de esta secci´on es v´alida para cualquier espacio euclideano de dimensi´on entera o, en lenguaje t´ecnico,
vale para todo R
n
.
El m´odulo (o magnitud o largo) de un vector viene dado por
|A~
| =
q
A2
x + A2
y + A2
z
. (1)
La suma de vectores es simplemente la suma componente a componente. Dado que la resta es la suma con signo
negativo, se tiene que la resta de vectores es la resta componente a componente. Algebraicamente:
A~ ± B~ = (Ax ± Bx, Ay ± By, Az ± Bz) = (Ax ± Bx) ˆx + (Ay ± By) ˆy + (Az ± Bz) ˆz . (2)
El producto punto o producto interno can´onico entre dos vectores es una cantidad escalar (s´olo un n´umero).
Se define como
A~
· B~ = |A~
| |B~
| cos γ = AxBx + AyBy + AzBz , (3)
donde γ es el ´angulo (m´as peque˜no) entre los dos vectores.
El producto cruz o producto vectorial es una cantidad vectorial, es decir, el resultado es otro vector, que
llamaremos C~
. Se define como
C~ = A~ × B~ = |A~
| |B~
| sin γ Cˆ
, (4)
donde γ es el ´angulo (m´as peque˜no) entre los dos vectores A~ y B~
, y Cˆ
es un vector unitario perpendicular al plano
engendrado por los vectores A~ y B~
. Existe una complicaci´on: hay dos vectores unitarios que son perpendiculares al
plano engendrado por los vectores A~ y B~
. Por convenci´on, debe usarse el que se obtiene luego de usar la regla de la
mano derecha.
Regla de la mano derecha: Empu˜ne la mano derecha y estire el dedo pulgar. Oriente los dedos empu˜nados de
tal manera que


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